多元正态分布的四种定义
正态分布说明了什么？
正态分布说明了什么？
正太分布说明变量具有随机特性，随机变量才符合正态分布函数。
多元线性回归要求正态分布吗？
多元线性回归要求正态分布。
一些教材上会表述为线性回归要求因变量服从正态分布，这本身是正确的。有一个坏处是，可能会引导一些人在回归前专门去对y做一个正态分布的检验，以此来判断是否满足。
什么叫正态分布？
正态分布是一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布的定义？
统计学上有这样一个结论：如果一个指标并非受到某一个因素的决定作用，而是受到综合因素的影响，那么这个指标分布呈正态分布。正态分布的数值如果用统计图来表示的话，通常呈钟型，即两端的极端值个数很少，太大或者太小的数很少，大部分的数值都在平均值附近分布。
三元正态分布的协方差阵？
多元正态分布的定义及其密度函数推导
多元正态分布是这样定义的：
假设u1,u2,...up独立，且都服从N(0,1)分布，记U[u1,u2,...up]#39，A为p阶非奇异矩阵，X,μ为p维列向量
则XAU μ 所服从的分布为p维正态分布记为N(μ,AA#39)
由此可见，多元正态分布中的协方差矩阵的原始定义并非是一个协方差的矩阵，而是线性变换的乘积。
下面我们来推导多元正态分布的密度函数
假设p元随机向量X~N(μ,∑)，那么X的密度函数为
1
—————————————exp[(X-μ)#39∑^(-1)(X-μ)]
(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)
证明：
令∑AA#39则XAU μ
→ UA^(-1)(X-μ)
因为u1,u2,...up独立，且都服从N(0,1)分布，所以U的联合分布为
1
p(U)————————exp[U#39*U]
(2*pi)^(p/2)
现在将UA^(-1)(X-μ)代入，有
1
p(X)————————exp[(X-μ)#39∑^(-1)(X-μ)]J(U→X)
(2*pi)^(p/2)
1
—————————————exp[(X-μ)#39∑^(-1)(X-μ)]
(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)
其中，J(U→X)为dU/dX的亚柯比行列式