导数及其应用归纳及解题技巧
导数的题型及解题技巧？
导数的题型及解题技巧？
（一）利用导数研究函数的单调性和极值
函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函数图象曲线向上，则为单调递增，反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密，定理如下：在区间（a，b）内，若f（x）0，那么函数yf（x）在该区间内单调递增;若若f（x）0，那么函数yf（x）在该区间内单调递减。
例1：已知三次函数f（x）x3 ax2 bx c在x1和x-l时取极值，且f（-2）-4
（1）求函数yf（x）的表达式
（2）求函数yf（x）的单调区间和极值
（1）解：由f（x）x3 ax2 bx c得f（x）3x2 2ax b由题意得x1和x-1是f（x）的根，得a0，b-3
由f（-2）-4得c-2所以f（x）x3-3x- 2
（2）f（x）3x2- 33（x 1）（x-1）当x-1时，f（x）0当x-1时，f（x）0当-1x1时，f（x）0当x1时，f（x）0当x1时，f（x）0
所以，f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数;在[-1，1]上是减函数;在[1， ∞]上是增函数。函数f（x）的极大值是f（-1）0，极小值是f（1）- 4。
在例1中，第二个问题即求函数的单调区间以及极值，我们可以很容易从例子中看出，当函数的导数在某-区间内大于零时，函数在这个区间内单调递增;相应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间单调递减。因此，在解题过程中，当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候，可以利用求导的方式求出该函数的导数，通过导数判断其单调性和极值。
（二）利用导数求函数的最值
函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某-.-点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中，却需要借助极小值和极大值。
例2：求f（x）yx4- -8x2 2在[-1，3]上的最值
解：由yx4 -8x2 2得y4x3-16x4x（x -2）（x 2）令y0，得x0，x2，x-2
代人得F（0）2，f（2）-14，f（-1）-5，f（3）11由于x-2不在区间[-1，3]中，因此不予考虑。所以f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）-14，最大值为f（3）11。一般情况下，求某一个函数在某区间内的最值，可先求出该函数在区间内的极值，再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。
（三）构造函数证明不等式
构造函数简单来说就是一一种解题方法，是基于具体数学题目，构造符合题目的函数模型，并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。
例3：已知函数f（x）xsub2/sub/2-ax （a-1）lnx，a1.
证明：若a5，则对任意x1，x2∈（0， ∞），xsub1/sub≠xsub2/sub，有f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）/xsub1/sub-xsub2/sub-1。
解：f（x）x-a （a-1）/x（xsub2/sub-ax a-1）/x（x-1）（x 1-a）/xg（x）f（x） xx2/2-ax （a-1）lnx x
g（x）x-（a-1） （a-1）/x≥2-（a-1）1-（-1）*2;1a5
g（x）0，即g（x）在（0， ∞）單调递增..当xsub1/subxsub2/sub0时，g（xsub1/sub）-g（xsub2/sub）0故f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）/xsub1/sub-xsub2/sub-1
当0x1x2时，[f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）]/（xsub1/sub -xsub2/sub）[f（x2）-f（xsub1/sub）]/（xsub2/sub-xsub1/sub） -1
例3中，如果只是按照常规思路进行解题，难度较大，但是通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。
（四）导数与函数零点问题
函数零点个数的判断问题是导数与函数的热点问题，其实质仍是利用导数刻画函数图象与性质，这类问题的难点是含参问题中零点会随着参数而移动，确定零点所在的关于参数的区间需要认真分析。
（五）类型四：隐零点整体代换问题
设而不求是解析几何常用的方法，而在函数导数中，有时候因为关于极值点的方程是超越方程，求不出极值点，这时候需要设而不求，对参数进行整体代换。
（六）双变量同构式问题
在考题中常见到有两个变量的函数或不等式问题，如果原式子能够通过化简、变形成为两个变量不同、结构相同的式子，问题就可以通过构造函数来解决.
三、巧借导数分析，别样化解难题
（1）分析函数性质，简证不等式
导数可以有效解决不等式问题，尤其是证明不等式成立问题，可通过求导的方式来分析不等式，确切来讲是采用构造思想构造新的函数，利用导数来判断函数的单调性，求最值或判断函数符号，最后结合不等式恒成立原理来证明。
（2）妙求切线方程速解圆锥曲线
圆锥曲线因其计算过程复杂、技巧性强而成为高中数学的重难点知识，对于其中涉及曲线切线方程的问题可以采用导数知识来求解，通过求导的方式来求切线的斜率，从而建立切线方程，需要注意的是曲线方程在转化过程中因定义域所造成的差异。
（3）求导分析模型巧解实际问题
导数在解决与生活实际相关的数学问题中同样有着良好的解题效果，尤其是对于物料问题、距离最值问题等，可以利用导数来分析问题的数学模型，利用求导的方式来求解.一般思路为：从实际问题中抽象数学模型，利用导数求函数最值，结合实际取最优值。
x的x次方求导怎么求？
（x^x）(x^x)(lnx 1)求法：令x^xy两边取对数：lnyxlnx两边求导,应用复合函数求导法则：(1/y)ylnx 1yy(lnx 1)即：y(x^x)(lnx 1)扩展资料求导法则：对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y 的一个方程，然后化简得到 y 的表达式。隐函数理论的基本问题就是：在适合原方程的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程确定一个惟一的函数y(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由完全确定。隐函数存在定理就用于断定就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。