为什么矩阵可逆说明满秩
可逆矩阵的本质？
可逆矩阵的本质？
矩阵可逆从几何上来说，证明这个矩阵是满秩的，也就是如果用它的所有行向量线性组合，一定可以铺满整个n维空间，如果用它的所有列向量线性组合，也一定可以铺满整个n维空间。
（但是这并不证明两两行向量之间正交，除非该矩阵不仅可逆，还正交，列也同理。）
在代数上来说，矩阵可逆证明矩阵A和某个矩阵左乘或右乘一定能得到I。换句话说，暗示了矩阵A可以类似于普通代数里边，用作分母。
再看和行列式的关系。我们知道，一个矩阵行列之间彼此相加减是不改变行列式的结果的。（而彼此行列想加减的过程，相当于矩阵左乘了一个线性变换矩阵P（也就是行变换），或者是右乘了P（也就是列变换），而且行列相加减的过程对应的线性变换矩阵P必可逆。从而，）矩阵A经过这样的行列加减变化之后，得到的新矩阵仍然具有可逆性。所以，一个矩阵一定可以通过这样的行列加减消掉下三角部分，得到新的矩阵A。（就是高斯消元的过程。）
对于缺少下三角部分的矩阵，行列式很容易求得：行列式就是主对角元的乘积。当且仅当A是上三角阵，也就是主对角元都不为0，行列式才不为0。
另一方面，要是A最后有k行全为0了，说明A不满秩，由于A是A通过可逆变换变过来的，所以A也不满秩，A的稚为(n-k)，也就是不可逆。因此，A要是可逆，得到的A一定主对角元全都不为0。
所以我们说，行列式不为0是可逆的充要条件。
最后再看可逆和解方程Ax0的关系。由高斯消元知，要是A主对角元上全都不为0，（也就是A可逆，）那么x具有唯一解，也就是解集是0维空间。要是A下边有k行等于0，在则此时方程有一系列解，因为此时只有(n-k)个方程，却有n个变量，所以可以得到解必然由k个线性无关的向量线性组合得到，也就是解空间是个k维空间，对应地，A的秩仅有(n-k)。
因而，求解Ax0的过程，相当于做了这么一个处理。对于n维空间，A的列向量（必须是列向量）组成了一个(n-k)维不变子空间，（当且仅当k0时候，A的列向量组成的空间就是原来的n维空间，也就是此时A可逆，）而Ax0的解集是个k维空间。通过分析可以知道，A的列向量空间和解集空间完全没有交集（当然，除了0向量）。所以，n维空间恰好是A的列向量空间和解空间的直和。
是不是只有方矩阵才可逆？
因为：一个方矩阵是否可逆的等价条件之一就是该方矩阵是否是一个满秩矩阵，只有满秩的方矩阵是可逆的，而如果一个方矩阵是满秩的，就说明该矩阵的行向量组与列向量组都是线性无关的。矩阵可逆的其他等价条件:1、一个方阵A的列(行)向量组线性无关则表示Ax0方程组仅有零解2、根据克拉默法则，若齐次线性方程组仅有零解，则系数行列式不为零3、而行列式不为零是一个矩阵可逆的充要条综上所述，A的行列向量组线性无关，则矩阵A可逆。