young不等式的证明思路
赫尔德不等式满足的条件？
赫尔德不等式满足的条件？
赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
如果||f||p 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q0也是这样。因此，我们可以假设||f||pgt0且||g||qgt0。
如果||f||p ∞或||g||q∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。
如果p ∞且q 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p1和q∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p,q∈ (1,∞)。
分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：
我们现在使用杨氏不等式：
对于所有非负的a和b，当且仅当时 等式成立。
因此：
两边积分，得：.
这便证明了赫尔德不等式。
在p∈ (1,∞)和||f||p ||g||q 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,βgt0（即α ||g||q且β ||f||p），使得： μ-几乎处处(*)
||f||p 0的情况对应于(*)中的β0。||g||q的情况对应于(*)中的α0。
什么是数学不等式？
一般地，用纯粹的大于号“gt”、小于号“lt”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号(lt，gt，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为lt，≤,≥，gt 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。