如何证明一个矩阵是否可以对角化
0矩阵可以相似对角化吗？
0矩阵可以相似对角化吗？
当然可以，零矩阵有n重0特征值，有属于特征值零的n个线性无关的特征向量，最简单的就是在各自维度都取1，其余为零，如n?3，取1，0，0；0，1，0；0，0，1，组成单位矩阵，也就是取单位矩阵所有列向量为特征向量
对角矩阵就是零矩阵，对应的p矩阵就是单位阵
不是对称矩阵可以相似对角化吗？
先从理解可相似对角化的充分必要条件着手：
A有n个线性无关的特征向量（注：即要求k重特征值有k个线性无关解）
之所以说实对称矩阵一定可以相似对角化恰恰就是因为它满足可相似对角化的充分必要条件
（不同特征值必线性无关,k重特征值有k个线性无关解)
而满足对角化充分必要条件的绝对不仅仅是实对称矩阵,很多都可以,你只要想出一个特征值不存在重根的就可以简单验证了
矩阵不能相似对角化说明什么？
1.所有特征根都不相等,那么不用说,绝对可以对角化
2.有等根,只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的,那么也可以对角化,如果不是,那么就不能了.
综合起来是说的：有n个线性无关的特征向量!
matlab求重特征值d和对应的特征向量v
gtgt [v,d]eig(A)
v
0 0.5774 -0.8944
0 -0.5774 0.4472
1.0000 -0.5774 0
d
1 0 0
0 -2 0
0 0 1
所以可以对角化
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
求出矩阵特征值之后，判断矩阵能否相似对角化，该怎么根据特征值判断？
1、判断方阵是否可相似对角化的条件：
(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）k(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。2、求方阵的特征值：
(1)具体矩阵的特征值：这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算(2)抽象矩阵的特征值：抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。