用单调收敛原理证明数列极限存在
不单调但是收敛的数列？
不单调但是收敛的数列？
单调的不一定收敛，收敛也不一定单调。
比如an(-1)^n*1/n 函数在正数和负数之间晃动，但总的趋势是收敛，与 0但不是单调的。
单调有界定理单调有界定理：若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。
具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。相关概念、单调性对任一数列{xn}，如果从某一项xk开始，满足则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。
同样地，如果从某一项k开始，满足则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。有界性对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使不等式根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得nN时，恒有|Xn-a|
为什么数列单调递增只需要证明有上界就收敛？
单调递增数列只要有上界就必然收敛。
很容易理解的：
数列单调递减则第一项X[1]是最大的也就是说X[1]就是它的上界，已知了下界N，则对于任意的n都有X[n]在X[1]和N之间，设|X[1]|和|N|中较大的数等于M，则对于任意的n都有X[n]≤M。又数列单调，所以必有极限。
怎么证明数列收敛？收敛的定义是啥？
数列收敛的定义：如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得ngtN时，不等式|Xn-a|ltq都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列ana0 1/n，随着n增大，lim(an)a0，因此可证明数列{an}是收敛的。
判断数列不极限方法有哪些？
1极限不存在
①极限为无穷大时,极限不存在。
②左右极限不相等。
2极限存在与否的判断
1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。
2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。
3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的极限不存在。
4、若分子分母各自的极限都是无穷小，那就必须用罗毕达方法确定最后的结果。
3极限的存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立
（2）g(x)—XoA,h(x)—XoA,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。
3.柯西准则
数列收敛的充分必要条件是任给ε0,存在N(ε),使得当nN,mN时，都有|am-an|ε成立