圆的面积计算方法微积分
为什么求圆的面积要用派r方呢？
为什么求圆的面积要用派r方呢？
是推导出来的。有两种方法，第一种是小学数学书上的，小学生都看得明白。就是把一个圆分成上下半圆，每个半圆沿着半径切开，变成锯齿状的两个图形，再把两个图形合并，锯齿互相接合，就变成了一个矩形。
这个矩形的宽是圆的半径，而长是圆的周长的一半。
设圆的半径为r，即矩形的宽为r，长为πr，面积就是πr^2严谨的推导要用到微积分。
圆的方程是根号(r^2-x^2)，∫(上限r下限-r)(r^2-x^2)就得到半圆的面积，乘以2就是圆的面积。
不等半径的圆怎么计算面积？
1.割补，根据图像适当割补面积化不规则为规则。
2.微积分和定积分，建立坐标系，利用极限思想。
3.概率与频率，将不规则图像放入规则图像中，在范围内随机取点，面积比约等于频率。等等
圆的微面积dA2πρdρ 这个公式该怎么理解？
这是环形面积2πρ是环形的周长，dρ是环形的宽度或者厚度。用微积分的思想，环形微面积就是长发形的面积。
牛顿如何求圆弓形的面积？
采用微积分的原理，把它分成一个个无穷小的三角形面积之和
微积分求体积原理？
微积分一开始定义的时候就用到了函数和极限，微积分分为微分和积分，微分就是求一个函数的导数，所谓函数的导数，其几何意义是这个函数的图像某一点的切线的斜率。
微积分的基本思想就是极限，进一步与无穷有关，如果把圆切割成无穷数量的若干份，每一份都有一定面积，再把这无穷份累加，就得到整个圆的面积，这是微积分推导曲线图形的量的基本思想。不但是圆，以后的球表面积公式、球体积公式、圆柱体积公式等等都可以用微积分推导出来。
能不能绕过π，来计算一个圆的面积？
比如寻找一个基础的圆，通过半径比来求的其他圆的面积。
行，把π改个名字就行了！
是不是可以用微积分
不可以！
圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）
圆的周长公式我们知道在二维几何平面上，对于 以原点为圆心，R为半径的 圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：
x2 y2 R2
在 极坐标下，曲线方程为：
ρ R， θ ∈ (-π, π]
两者结合，就得到 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π, π]）：
x R cosθ
y R sinθ
利用，关于弧长的曲线积分公式：
令， f(x, y) 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式。
这里，我们 将C 看成 从 a (-R, 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线，
于是，计算 C 的 弧长为：
这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：
C 2πR
考虑，C 位于 X 之上的部分 C，
令，t x，则 C 的参数方程为（t ∈ [-R, R]）：
x t
y √(R2-t2)
同样，利用上面的弧长公式，计算 C 的弧长为：
而 C 的周长显然是 C 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：
C 2C 2πR
圆的面积公式设，圆 C 的内部圆盘 为：
S {(x, y) | x2 y2 ≤ R2 }
在 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 小扇形 ，
每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：
ΔS (1/2)R(RΔθ) (R2/2) Δθ
这些 ΔS 全部加起来，然后让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼积分，
这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：
S πR2
上面的结果，告诉我们，其实，在 关于弧长的曲线积分公式 中，令 F(x, y) (R2/2)，对 圆周 C 进行 弧长积分，就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数，不妨让 f(θ) (R2/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积分：
同样在 平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的 小圆环，
将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：
f(ρ) 2πρ
这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：
ΔS f(ξ)Δρ
其中，Δρ ρ - ρ，ξ ∈ [ρ, ρ]，又令 λ max{Δρ, i 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：
这个结果就是 全部小圆环 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：
S πR2
上面的结果说明一个事实：
以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) πρ2 是 周长函数 f(ρ) 2πρ 的原函数，并且 有条件 F(0) 0，使得不定积分常数 C 0，即，
绘制成图如下：
反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) 2πρ 是 面积函数 F(ρ) πρ2 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，
从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，
C 的这部分的函数为：
y f(x) √(R2 - x2)
于是直接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S 的面积 如下：
注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根据 对称性，S 的面积 是 S 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：
S 4S 4(πR2/4) πR2
还可以利用，格林公式：
这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设，
Q(x, y) x, P(x, y) 1
于是，格林公式左边为：
这就是 S 的面积。接着 利用，两类曲线积分的关系：
结合 上面 C 的 第一个参数方程，格林公式右边为：
格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公式：
S _D (Q/x - P/y) dxdy ∮_C (Pdx Qdy) πR2
其实，也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分，
另外，在平面极坐标下，考虑 二重黎曼积分 更一般的形式：
可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“，
每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：
Δσ 1/2 ρ2 Δθ - 1/2 (ρ - Δρ)2 Δθ [(ρ ρ) / 2] Δρ Δθ ρ Δρ Δθ
其中，Δθ θ - θ, Δρ ρ - ρ，令，λ max{Δσ, i 1, 2, ..., n m2}，并取小扇面 的中心点 (ρ, θ) 处 的 二元函数值 f(ρcosθ, ρsinθ)，于是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式：
注意：以上的推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。利用，上面的 二重积分计算公式，有：
这样，我们就叕得到了圆的面积公式。
球的表面积公式在三维空间中，以 圆点为 球心，以 R 为半径的 球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：
x2 y2 z2 R2
于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B 对应的二元函数为：
z f(x, y) √(R2 - x2 - y2)
对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x, y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B 上的面积，近似于 投影 到 B 在 (x, y, f(x, y)) 处 切面 上的面积 Δm , 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：
Δm Δσ / cos r
为什么呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：
Δσ ∑ a × b
让 a 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行，于是 b 边 就与 交线 垂直，
这样 a 边 在 切面上的投影仍然是 a ，b 边在切面上的投影 则是 b / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积 为 (a × b) /cos r，进而有：
Δm ∑ (a × b) / cos r Δσ / cos r
另外，根据立体几何知识，我们知道：
B 在 (x, y, f(x, y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B 在 (x, y, f(x, y)) 点 切面法线 和 Z 轴 的夹角，
又因为，B 在 (x, y, f(x, y)) 点的 切面法线向量 为：
n (-f/x, -f/y, 1)
Z 轴 单位向量 为：
k (0, 0, 1)
所以，根据内积的定义，有：
cos r n k / |n||k| 1/√((f/x)2 (f/y)2 1)
注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数 z f(x, y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B。对于曲面 B 来说，有：
f/x -x/√(R - x2 - y2) , f/y -y/√(R - x2 - y2)
带入上面得到：
cos r 1/(√ x2 / (R2 - x2 - y2) y2 / (R2 - x2 - y2) 1) √(R2 - x2 - y2) / R
于是，曲面B 面积 的 二重黎曼积分为：
再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有：
最后，根据对称性 B 的表面积 是 B 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：
B 2B 4πR2
考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片，
和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔB 同样是 顶面半径 为 √(R2 - x2) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R2 - x2) Δx 的 1/cos r 倍数，
这里的 r 是，曲线 y f(x) √(R2 - x2) 上 (x, f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n (-f, 1) 和 Y轴 单位向量 j (0, 1) 的夹角。
同样，根据内积公式有：
cos r n k / |n||k| 1/√(f2 1) 1 / √((-x/√(R2 - x2)) 2 1) 1 / √(x2/(R2 - x2) 1) √(R2 - x2) / R
于是，
ΔB 2π√(R2 - x2) Δx / cos r 2πR Δx
进而，令 λ max{Δx, i 1, ..., n} 使用黎曼积分，就得到 B 的表面积：
球的体积公式设，球面 B 内部球体 为：
V {(x, y, z) | x2 y2 z2 ≤ R2 }
与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δx x - x 的薄片的体积 近似等于 半径为 √(R2 - ξ2) （ξ ∈ [x, x]） 的 同样厚度的圆柱体的体积：
ΔV π(√(R2 - ξ2))2 Δx π(R2 - ξ2) Δx
接着，令 λ max{Δx, i 1, ..., n} ，使用 黎曼积分，就得到 V 的体积：
当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。
利用，球面坐标下的三重积分计算公式：
对于，P 点的 球面坐标 定义为：
ρ ∈ [0, R]为 |OP|，φ ∈[0, π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角，
则，有，
这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。对于 球体 V 的体积，来说：
f(x, y, z) F(ρ, φ, θ) 1, ρ(φ, θ) R
于是，有：
最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。
例如，f(x) 在 [a, b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在 [a, b] 上的积分 可以定义为：
（当然，用微积分推导 圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）
（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正。）