证明函数是无穷次可微的方法
如何证明一个函数处处可导，最好有例题展示？
如何证明一个函数处处可导，最好有例题展示？
最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。
如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
2. f(x)1 xg(x),而lim x-0 g（x）1
证明f（x）在R上处处可导，且f（x）f（x）
1)f(0)f(0)^2，结合条件2得到f(0)1。
2)1f(x-x)f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x-0 f(x)1f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x-0 [f(x)-f(0)]/x lim x-0 g(x)1，于是f(x)在0点可微且f(0)1。
接下来就可以直接证明结论了。
f(x)
lim Δx-0 [f(x Δx)-f(x)]/Δx
lim Δx-0 f(x)[f(x Δx)f(-x)-1]/Δx
f(x) lim Δx-0 [f(Δx)-1]/Δx
f(x)f(0)
f(x)
二元函数在某处的可微性？
二元函数在某点的偏导数连续是在该点可微的充分非必要条件，也就是说偏导数不连续时仍可能可微，此时只能用定义判断。
二元函数可微定义：
给定二元函数f(x,y),若满足下列等式成立：
f(x0 Δx,y0 Δy)AΔx BΔy o(ρ)
其中ρ(Δx^2 Δy^2)^(1/2)
则函数在(x0,y0)处可微。
也就是说，只要将f(x0 Δx,y0 Δy)展开后去除AΔx BΔy部分，剩下的部分与ρ进行无穷小比阶，若为ρ的高阶无穷小则函数可微。
什么是柯西公式？
如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)对任一x∈(a，b)，F(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]f(ζ)/F(ζ)成立。就是柯西中值定理。 柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式. 简单的说，定义如下： 设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有: f(z)对曲线的闭合积分值为零。 （注:f(z）为复函数）