为什么函数可以用傅里叶级数表示
傅里叶效应？
傅里叶效应？
傅立叶定律
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。固体中的热传导是源于晶格振动形式的原子活动（声子）。近代的观点把这种能量传输归因于原子运动导致的晶格波造成的。在非导体中，能量传输只依靠晶格波进行；在导体中（比如银、铁），除了晶格波还有自由电子的平抑运动。
函数的傅里叶级数？
傅里叶级数的和函数是分段函数，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
法国数学家J·-B·-J·傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯·博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
高斯函数的傅立叶变换指的是什么呢？
傅里叶级数就是函数在某个函数空间中各个基底的投影和。这句话是这部分的精髓，也是理解傅里叶级数的关键点。耐心看完这篇文章你会理解这句话的。
傅里叶说：任何周期信号都可以化简为正弦信号或余弦信号的和。然后就有了傅里叶级数。傅里叶级数的两种形式如下：
三角函数形式的傅里叶级数：
或
这两个本质上是一种形式，可以互相转换。
复指数形式的傅里叶级数：
1.两种形式的傅里叶级数推导过程。
三角形式傅里叶级数数学推导
这篇文章写的详细，然后从三角形式的傅里叶级数可以推导出指数形式，网上资料很多，这里就不写了。
2.傅里叶级数的意义
如果两个向量内积（向量内积就是数量积）为0，则这两个向量正交，如：在一个四维空间中，
若
则称向量u和v正交，向量正交可以理解为垂直，想象一下三维空间，它是由三个两两正交的基底X轴、Y轴、Z轴构成的，XY、YZ、ZX两两垂直，即是正交。一个n维向量空间是由n组互为正交的向量组成的。咱们把向量里面的这些定理类比到函数里面。
两个n维向量的内积公式（就是数量积或者说点乘）为：
那么类比一下，如果把i从整数扩展到整个实数轴，累加就变成了积分， 和 就变成了函数值f(t)和g(t),则函数的内积公式为：
如果是周期为T(两个函数周期应该有整数倍的关系，这个周期表示两个函数中周期比较大的函数周期)的函数：
如果f(t)和g(t)是复函数：
如果f(t)和g(t)的内积为0，我们就说这两个函数正交，就像两个向量垂直。
举个例子：
函数内积是对每个自变量t下两个函数的值相乘再累加，所以对于上面的两个周期函数，只需要取一个周期计算就行，每个周期的得到的结果都一样。
互为正交的一组向量可以构成一个向量空间，像三维空间的X、Y、Z轴，那么互为正交的一组函数呢？它构成了一个函数空间，这个函数空间的基底就是这组两两正交的函数。函数空间是什么样子我也不知道，只能类比向量空间。
举个函数空间的例子：
这一组函数都是两两正交的，证明如下：
任取上面函数组中的两个函数记为： 和 ,m和n是k中任意的数，
是最大周期为1的函数，所以取一个周期计算他们的内积，这个结果表示当mn时，意思就是这是一个函数时，这个函数和自己的内积为一，想象一下一个单位向量和他自己的内积（数量积），也是一；当m不等于n时，也就是函数组中任意两个函数的内积为0，他们两两正交。
所以， 里面的所有函数作为基底构成了一个函数空间。
把 换成任意实数 仍然成立。
还有一组正交函数
这些基底是不是有些熟悉？回忆一下傅里叶级数的两种形式。
接下来先想象一个三维空间中的向量a，假设该三维空间基底为 ，怎么表示这个向量a呢？
四维空间中的向量a呢？假设基底为 。
那么m维空间中的向量a呢？假设基底为 。
上述公式表示，每个基底乘以一个实数（这个实数就是向量a在基底上的投影长度）再相加就可以表示这个空间中的任意一个向量，或者说，每个向量可以表示为在各个基底上的投影和（投影包括长度和方向，而投影长度仅指长度），可以想象一下三维空间中的向量分解到每个基底上面的过程
有了这个就可以和傅里叶级数对比了。
先看三角函数的傅里叶级数 ，类比一下向量空间，
这个函数空间的基底为 ,
就是每个基底前的系数，每个基底乘以特定的系数（这个系数是f(t)在函数基底上的投影长度）然后累加就可以表示时域周期函数（傅里叶级数只能表示周期函数），或者说每个时域周期函数都可以表示成在各个函数基底上的投影和。
三维空间中一个向量在某个轴上的投影的长度就是这个向量与这个轴的内积，正交（垂直）的话，内积就是0，平行的话，内积是那个向量的长度，想象一下数量积的知识点。类比向量的投影，时域周期函数在某个函数基底上的投影长度为
这是f(t)在复指数基底上的投影长度刚好是指数形式傅里叶级数的 。三角形式的傅里叶级数也是这个道理。
所以，傅里叶级数就是函数在某个函数空间中各个基底的投影和。
看到这脑海中是不是对傅里叶级数有了一个形象，如果有我这篇文章写的也不是那么差哈哈哈。那么有了傅里叶级数，我们怎么用她呢？
大家应该都听过频谱。
咱们把一个时域周期信号写成指数形式傅里叶级数的形式：
我们想象不出f(t)在函数空间中投影的样子，但我们可以把这个公式里面有用的信息提取出来并表示到坐标图里。
首先，基底是什么呢： ， 可以用来表达不同的基底的信息，我们把它放到频率轴上。
像这样：
然后，这个公式还有什么信息呢？
,f(t)的投影长度。注意函数的投影长度不是真的长度，不是表示这个函数有多少米，他是类比向量的投影长度得出来的，是一个属性，抽象的东西，不过这个是常数。
有这两个信息就可以表示出这个傅里叶级数也就是f(t)了，能不能想象出来这个图象？
emmm......身为一个灵魂画手，我只会画这个东西的灵魂，读者将就看吧.......
大多数情况下是复数，所以图中有复平面。这么画还是有点复杂，能不能让他更简单一点呢？
我们都知道一个复数可以化简为模和辅角的形式： ,
那么我们把在每个 下的模和辅角分开画，得到两个图像，我们把她俩叫做幅度谱和相位谱，他俩横轴都是频率轴。
幅度谱（幅度谱我只画了大于零的部分，小于零的部分是关于Y轴偶对称的）：
相位谱：
图是随便画的，只是单纯的表达这个图有哪些信息。这两个图就把时域周期函数的全部信息体现出来了。这两个图是把f(t)在函数空间各基底上的投影长度 分成了模和辅角两部分，然后，模被称为幅度，辅角被称为相位，然后各个基底用频率表示，我们通过分析各频率分量（即各个基底）下的幅度和相位，来分析时域周期函数，这就达到了从另一个角度（频域）去分析时域周期函数的目的。
傅里叶级数说到这差不多了。本来想好好画画那些图，让这篇文章更形象，但是我太菜了......
里面有些词汇和推导也不是很严谨，之前看过很多大牛的文章，然后有了一些自己的想法，就想写出来，但是等到写的时候才发现，这样推导到底行不行，用这个词对不对？所以现在更加佩服那些大牛了。文章如果有什么错误欢迎指出。