基本不等式证明50例
三个未知数的基本不等式证明过程？
三个未知数的基本不等式证明过程？
先证a，b，C＞0时a＾3＋b＾3＋c＾3≥3abc过程如下：左－右＝（a＋b）＾3＋c＾3一3ab（a＋b＋C）＝（a＋b＋c）[（a＋b）＾2－（a＋b）c＋c＾2－3ab]＝（a＋b＋C）（a＾2＋b＾2＋c＾2－ab－bC－aC）≥0，当且仅当a＝b＝C取等号。再此基础上用a，b，C立方根代替a，b，c得（a＋b＋c）／3≥abC立方根，即三元基本不等式
不等式证明常用公式？
对于正数a、b.
A(a b)/2,叫做a、b的算术平均数
G√(ab),叫做a、b的几何平均数
S√[(a^2 b^2)/2],叫做a、b的平方平均数
H2/(1/a 1/b)2ab/(a b)叫做调和平均数
不等关系：HGAS.其中GA是基本的。
GA证：
√a-√b是实数，所以(√a-√b)^20
---a b-2√(ab)0
---√(ab)(a b)/2
AS证：
依GA,有2aba^2 b^2
---a^2 b^2 2ab2(a^2 b^2)
---(a b)^22(a^2 b^2)
---(a b)^2*(1/4)(a^2 b^2)/2
---(a b)/2√[(a^2 b^2)/2]
HG证：
依GA，有2√(ab)a b
两边同时乘2√(ab)/(a b)得
2ab/(a b)√(ab)
不等式的七个性质及证明？
不等式的性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
基本性质
如果xgty，mgtn，那么x mgty n；
如果xgtygt0，mgtngt0，那么xmgtyn；
如果xgty，ygtz；那么xgtz；（传递性）
如果xgty，那么yltx；如果yltx，那么xgty；（对称性)
如果xgtygt0，那么x的n次幂gty的n次幂（n为正数)，x的n次幂lty的n次幂（n为负数）
如果xgty，zgt0，那么xzgtyz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变
如果xgty，zlt0，那么xzltyz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变
如果xgty，而z为任意实数或整式，那么x zgty z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
特殊性质：
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。