常见的偏序集举例
到底是顺数还是序数？
到底是顺数还是序数？
序数：
序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型凭，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征。
也是集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。
数序：
是数字序列的简称，就是指数字按照一定规律所排出来的顺序。
次序数是什么意思？
是指集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。
次序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征，即定义为{B|BA}。
上下确界定义？
上下确界:
上确界是一个集合的最小上界。下确界是与上确界相对偶的概念，指的是一个集合的最大下界。
上确界是序理论中最基础的概念之一。
给定偏序集(S, ≤)，A是S的子集，则A的上确界（亦称最小上界）supA定义为满足以下条件的元素：
Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅲ.
，若a满足
，则
。
即：supA是A的所有上界组成的集合的最小元（若存在）。
A的上确界亦被记为sup(A)，lubA，LubA或∨A。
上确界在序理论中的对偶概念是下确界。
并非所有的A都能找到上确界。
上界和上确界的区别是什么？
1、上届是元素，上确界是性质：上界（upper bound）是一个与偏序集有关的特殊元素，指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。上确界性质是一个序性质。首先，只有在集合上建立了某种序关系才能继续讨论诸如上界之类的概念；其次，实数集具有上确界性质。
2、有上届才有上确界：“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
3、上届和上确界的个数：一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。上确界，也是上界，且是最小的上界。上界和上确界都不一定存在，如果都存在，上界不一定唯一，但上确界一定唯一。
4、有界集合S，如果β满足以下条件 （1）对一切x∈S，有x≤β，即β是S的上界； （2）对任意aa，即β又是S的最小上界， 则称β为集合S的上确界，记作βsupS 在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”。
5、上界可能属于上界的集合，也可能不属于上界的集合。比如x小于等于2，那么他的上确界为2，它的上界为大于2的一切实数的集合，它显然没有最小值。