欧几里得定律怎么证明
欧几里得的第五假设被证明不可能还原至更简单的定理，这个证明的惊奇点在哪儿？
欧几里得的第五假设被证明不可能还原至更简单的定理，这个证明的惊奇点在哪儿？
问题
第五公设：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
欧氏几何学大约公元前400~300年，处于第一次数学危机发生和解决的后危机时代，欧几里得（Euclid）接受一些视觉图形和“不证自明”的现象作为起点，并将其命名为公设和公理，编纂《几何原本》用公理化的推演模式，建造了世界瞩目的数学逻辑体系。
在《几何原本》中，欧几里得对“第五公设”的处理总让人感到有不尽人意的缺憾。人们一直都希望通过欧氏前4条公设紧密连接在一起的概念能对“第五公设”做出推演，拟将它从公设中去除而成为一个定理。尽管许多数学家在长达两千多年的推演工作中，使用了不同的方法对欧氏几何的逻辑体系进行完善，但所有努力都没能获得成功。
在现代综合几何中，由普勒菲尔的平行公理代替了欧几里得所设的“第五公设”。普勒菲尔的平行公理是这样描述的“过已知点的一条已知直线至多有一条平行线”。
图1 普勒菲尔的平行公理
非欧几何学当俄国数学家罗巴切夫斯基（N l Lobachevsky）和匈牙利数学家波尔约（Bolyai Janos）尝试对“第五公设”进行证明时，借用普勒菲尔的平行公理得到了“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”的假设命题，且结合欧氏的前4条公设“线段、直线、圆、直角”及其它公理组形成新的公理系统，通过反证法展开逻辑推演，得到了一连串古怪的演绎命题。但经过仔细审查，却没有发现由归谬法所导出的命题与“第五公设”之间含有任何逻辑矛盾。直接反驳了“第五公设可证性”，也间接坐实了“第五公设不可证性”，与此同时，又因无矛盾的新几何体系之存在，使得“第五公设变得不可否定”。罗巴切夫斯基与波尔约从而证明了“第五公设”确实是一条“公设”，不能被证明或否定。由此，巴氏几何概念呈现在大家面前，包括高斯（J K F Gauampszlig）在内的三位数学家也为我们带来一个全新的数学分支——非欧几何学。
巴氏对非欧几何的创造性研究提出了双曲几何，后来黎曼（Riemann Sum）再通过“过直线外一点，没有直线与已知直线共面而不相交”的假设命题，又提出了椭圆几何——另一非欧几何学。
证明“第五公设”的惊奇点在哪儿？证明“第五公设”的惊奇之处的疑问，正如楼主提问的鲜明观点“欧几里得的第五假设被证明不可能还原出更简单的定理（原始假设），这个证明的惊奇点在哪儿？”
非欧几何学的产生反映了空间形式的多样性，欧氏几何的空间曲率为零，罗氏几何的空间曲率为负数，黎曼几何的空间曲率为正数。但这三种几何各自所导出的命题均构成了严密的公理体系，也被公认都是正确的。然而，证明“第五公设”的惊奇就在于非欧几何学涉及到替代“第五公设”的普勒菲尔公理并不是真正的原始命题。
我国学者程平发表文章，用“一因一果”同“多因一果”的两种推理方法作比较，指出了欧氏“第五公设”不能被证明的原因为：不是任何数目的原始命题都能完成对“第五公设”的逻辑检验。与此同时，学者李春泰撰文也指出：欧几里得几何的可能世界有很多逻辑无法深入的地方。
图2 由欧几里得的公设I.1、I.2、I.3处理的三条直线
《几何原本》陈述：命题I.9一个角可以切分成两个相等的角，以及命题I.12经过直线外的一点可以向直线作垂线。如果，O是角平分线AC上一点，且A、B分别是角的两边上垂足（图2），那么，链接A、B形成L1、L2、L3三条相交的直线，可描述为“第五公设”中三条直线。
我们不难发现三角形ABP是等腰三角形，且等腰三角形的两个底角都是锐角。而这样的两个锐角之和小于两个直角，其满足“第五公设”。同时，通过欧几里得所设的公设I.3，由圆ABC的图形建立联系，使角的两边成为圆的两条相等切线，符合切线长定理。然而，等腰三角形的命题是欧几里得命名的“庞斯命题”，正是“驴桥”逻辑循环的首个命题。当它对任意三角形ABP做处理时（图2），则有些逻辑就无法深入。
图3 由欧几里得的公设I.1、I.2、椭圆公设处理的三条直线
有学者撰文《在欧几里得公理体系中添加椭圆公设》指出，可通过欧氏规定无刻度的度量方法，融合《几何原本》的前4条公设和5条公理，并且，考量与前4个公认命题进行无矛盾地合同，描摹给出了原始设定的椭圆公设来奠定椭圆图形。
倘若通过椭圆图形建立联系，设一条不过椭圆中心的椭圆弦，由尺规作图得到过该椭圆弦的两端的两条切线（图3），形成L1、L2、L3三条相交的直线，可描述为“第五公设”中三条直线。
我们就会发现三角形ABP是任意三角形，且任意三角形的底角α、角β是锐角或钝角，而这样一个锐角与一个钝角之和小于两个直角，其也满足“第五公设”。
原始设定的椭圆公设留下的思考（1）椭圆公设为何没出现在《几何原本》之中？
（2）处于公元前300年那个古老年代，欧几里得的局限是什么？
（3）椭圆公设能否成为欧氏无刻度度量的基础元素吗？
（4）椭圆公设能否作为公理化推演的起点完成对“第五公设”的逻辑检验吗？
有不同见解，欢迎交流。
勾股定理欧几里得证法？
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.其证明如下：设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF AB2.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH AC2.把这两个结果相加,AB2 AC2 BD×BK KL×KC 由于BDKL,BD×BK KL×KC BD(BK KC) BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2 AC2 C2.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的