凸函数知识总结及答案
凸函数等号成立条件？
凸函数等号成立条件？
判断是否是严格凸函数将用到延森不等式，而该不等式等号成立的条件是f(x1)/x1f(x2)/x2...f(xn)/xn。
凸函数怎么写出单调性？
证明：
如果 f f f 是可微的凸函数，则有
f ( y ) ≥ f ( x ) ▽ f ( x ) T ( y x ) , f ( x ) ≥ f ( y ) ▽ f ( y ) T ( x y ) . f(y) geq f(x) igtriangledown f(x)^T(y-x), f(x) geq f(y) igtriangledown f(y)^T(x-y).
f(y)≥f(x) ▽f(x)
T
(yx),
f(x)≥f(y) ▽f(y)
T
(xy).
将上面两式相加得
( ▽ f ( x ) ▽ f ( y ) ) T ( x y ) 0 (igtriangledown f(x)-igtriangledown f(y))^T(x-y)0
(▽f(x)▽f(y))
T
(xy)0
如果 ▽ f igtriangledown f ▽f 是单调的，定义函数 g g g :
g ( t ) f ( x t ( y x ) ) , t ∈ [ 0 , 1 ] g ′ ( t ) ▽ f ( x t ( y x ) ) T ( y x ) g(t) f(x t(y-x)), ;t in [0,1] g(t) igtriangledown f(x t(y-x))^T(y-x)
g(t)f(x t(yx)),t∈[0,1]
g
′
(t)▽f(x t(yx))
T
(yx)
则由 g ′ ( t ) g(t) g
′
(t) 的连续性以及
g ′ ( 1 ) g ′ ( 0 ) 0 且 g ′ ( 0 ) g ′ ( 0 ) 0 g(1)-g(0) 0 ;且; g(0)-g(0) 0
g
′
(1)g
′
(0)0且g
′
(0)g
′
(0)0
得
g ′ ( t ) g ′ ( 0 ) ≥ 0 , g(t) -g#x2