欧拉公式的实际意义
什么是欧拉定理？
什么是欧拉定理？
在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
欧拉公式具体是什么？
欧拉公式具体分好多种：
（1）分式里的欧拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c) b＾r/(b-c)(b-a) c＾r/(c-a)(c-b)
当r0,1时式子的值为0 当r2时值为1
当r3时值为a b c
（2）复变函数论里的欧拉公式：
e^ixcosx isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ixcosx isinx的证明：
因为e^x1 x/1！ x^2/2！ x^3/3! x^4/4! ……
cos x1-x^2/2! x^4/4!-x^6/6!……
sin xx-x^3/3! x^5/5!-……
在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2-1, (±i)^3〒i, (±i)^41 ……（注意：其中＂〒＂表示＂减加＂）
e^±ix1±x/1！-x^2/2！ x^3/3!〒x^4/4!……
(1-x^2/2! ……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ixcosx±isinx
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ixcosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx(e^ix e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ixcosx isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ 10. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2R＾2-2Rr
（4）拓扑学里的欧拉公式：
V F-EX(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V F-E2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
（5）初等数论里的欧拉公式：
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
φ(n)n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
(6) 立体图形里的欧拉公式：
面数 顶点数—2棱数