如何判断两个矩阵是否是相似矩阵
两矩阵法相似的定义？
两矩阵法相似的定义？
一个矩阵对应着一个线性变换，两矩阵相似其实就是说同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下的表示(矩阵)不同。
两矩阵相似就意味着存在可逆矩阵P使得P^-1APB则A与B相似其实就是说A和B相似于同一个对角阵(当然了，前提是可以相似对角化，也就是说，A和B都有列数个或行数个线性无关的特征向量)这个结论等价于A与B有完全相同的特征值
如何判断一个矩阵的相似矩阵？
先说结论，判断一个矩阵的相似矩阵的方法如下。可以通过相似矩阵的本质进行判断。设 [公式] 为 [公式] 阶矩阵，如果有[公式] 阶可逆矩阵 [公式] 存在，使得
[公式]
则称矩阵 [公式] 与 [公式] 相似，记为 [公式] 。
相似矩阵定义虽然简单，但无法直观的感受出来相似区别。
如何判断矩阵合同、相似、等价？
1、合同即特征值正负0个数分别相同；
2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；
3、等价，秩相等；
合同和相似是特殊的等价关系。
等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。
A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。
合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。
如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。
ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。
两个可逆矩阵一定相似吗？
不一定。
判断两个矩阵是否相似的方法：
（1）判断特征值是否相等。
（2）判断行列式是否相等。
（3）判断迹是否相等。
（4）判断秩是否相等。
两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。