行列式的值和特征根的关系
怎么求行列式的特征值简单一点，总是因式分解不开？
怎么求行列式的特征值简单一点，总是因式分解不开？
没有太好的方法，主要是使用行列式的性质（和矩阵初等变换很像的三个行列式的性质），把行列式化成上三角形（或下三角或对角），在把对角线元素相乘即为行列式的值。 本题中，应把1行和3行交换，在用第1行第1列把下面的元素变成0，接下来按行或按列展开即可 *）
注意：一般求矩阵特征值时的行列式都是二阶或三阶的，所以不会有太大的计算量
为什么矩阵的行列式等于特征值？
特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数行列式，理解为有向体积的缩放系数特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数
为什么转置矩阵的特征值与原矩阵相同？
因为A与A^T的特征多项式相同，所以它们的特征值相同.
性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质2：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质3：设λ1，λ2，…，λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
特殊行列式特征值的快速求法？
1.
直接依据对角线法则，三阶行列式展开共有9项λ多项式的和，问题就转化为一元三次多项式求根的问题。化简之后求根的步骤一般可以借助提公因式求根；公因式不容易看出来的话，这个时候就可以试根（比如det(λE-A)0的所有可能的有理根是常数项的因子，你可以尝试代入一个计算该多项式是否为0，这个过程算得很快的，找到一个根的话问题然后就转化为就是一元二次方程求根了，这个就so easy了）
2.
依据行列式性质，三条性质只用到
某行或某列提出常数公因子
某行或某列的k倍加到另一行或另一列。
如果能换成上下三角行列式那就很好算了--行列式的值直接就是对角元相乘。我们的目的是得到好多的零！
3. 按照某行或者某列展开。可以直接不用化简，直接算三个二阶行列式。
重点是第一条中得到多项式然后求根的问题，第一条对角线法则是通用的，就是写出来的项数最多，化简要细心。推荐搭配行列式的性质多多划出好多零，那就容易多啦。
特别提醒：试根的时候，det(λE-A)0的所有可能的有理根是常数项的因子。注意是有理根哦。对于本科来说A都是定义在R上的，所以这个试根的方法就很有用