抽象代数的逆元怎么求
数群概念是什么意思？
数群概念是什么意思？
数群是一组元素的集合，指的是满足以下四个条件的一组元素的集合：（1）封闭性（2）结合律成立（3）单位元存在（4）逆元存在。
群的定义
设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*ca*(b*c)；
Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*aa，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*ea，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*ae；
则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：
（1）
封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*bc
（2）
结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*ca*(b*c)
（3）
单位元存在
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*ee*aa，称e为单位元，也称幺元
（4）
逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*bb*ae（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)b.
通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群的定义
如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：
HHH且H^(-1)H ltgt H是G的子群
群论-由来
群论是法国传奇式人物Galois的发明。他用该理论解决了五次方程问题。今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。
在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。
群论,商群的概念是什么？有什么用？
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。中文名群论外文名Group Theory基本概念群的定义设 是一个非空集合， 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：(1) 封闭性：若 ，则存在唯一确定的 使得 ；(2) 结合律成立，即对 中任意元素 都有 ；(3) 单位元存在：存在 ，对任意 ，满足 。 称为单位元，也称幺元；(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 为单位元），则称 与 互为逆元素，简称逆元。 记作 ；则称 对 构成一个群。通常称 上的二元运算 为“乘法”，称 为 与 的积，并简写为 。若群 中元素个数是有限的，则 称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。定义运算对于 ，对于 的子集 ，定义 ，简写为 ； ，简写为 。对于 的子集 , ，定义 ，简写为 。对于 的子集 ，记 。群的替换定理若是群，则对于任一 ， 。子群若 是群， 是 的非空子集并且 也是群，那么称 为 的子群。这条定理可以判定 的子集是否为一个子群：且 是 的子群历史群论是法国数学家伽罗瓦（Galois）的发明。伽罗瓦他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人也对群论作出了贡献。最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即fax^2 2bxy cy^2，其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且Db^2-aс为固定值，对于两个型的复合乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，索菲斯·李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。