二重积分的几何意义求二重积分值
1的二重积分几何意义？
1的二重积分几何意义？
定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。
二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。
积分的线性性质：
性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
x^2的二重积分？
∫∫x^2dxdx＝∫((1/3x^3) c1)dx＝(1/12x^4) c1x c2
二重积分的公式怎么来的？求解？
先确定积分区域，然后把二重积分的计算转化为二次积分的计算。
利用对称性。
积分区域是关于坐标轴对称的。
被积函数也时关于坐标轴对称的。
在对称区域内，奇函数的积分为0.
常数的积分 常数倍的积分区域的面积。
二重积分和二次积分的关系？
没有本质区别.。
将二重积分化为二次积分是为了实现计算，二次积分是计算二重积分的一个方法。
二重积分：二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
扩展资料：
当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积ΔσΔx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσdxdy，从而二重积分可以表示为
由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。
二重积分定义的证明？
二重积分的概念
Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。
与定积分概念密切相连：分割，求和，取极限。
分划成为网状分割，每个交点处横截
横截性：函数在P点横截，如果两个切线方程的线性子空间的维数等于2。
模仿定积分，给出二重积分的定义。如果记λmax{Di的直径}
事实：
有界闭区域上连续的二元函数是可积的。
有界闭区间上分片有界连续函数可积。
性质：
线性空间的性质。
积分区域可加。
不等式保序。
特例|?f(x,y)dσ|≤?|f(x,y)|dσ
积分中值定理
重（二重）积分的计算
原则：把二重积分化成累次积分。
直角坐标系下的计算
先积x，y中更整齐的那一维。
先积那一维取决于简便性（菱形例）
我们可以利用累次积分的思路解决复杂定积分的问题。
例 换一个维度进行二重积分，从而把其中的ey2可以先看成常数，便于操作。
I∫b0dx∫axey2dy?Dey2dxdy∫a0dy∫y0ey2dx∫a0ey2ydy
然后就可以凑微分
极坐标系下的计算
引入：为了解决高斯积分
适合用二重积分解决的三种典型模型
环形，不规则星形，极点在边界曲线上。（有曲边，能由这几类问题组合而成）
例 由yx,y2x,x2 y24x,x2 y28x围成的面积。
不适合用极坐标的例子
边界非常直的问题（直线的极坐标方程都相对繁琐）。
例 由yx,y0,x1围成的面积
积分区域和被积函数的取舍？
整洁的区域和优美的函数只能选择一个
例 I?Ddxdy(a2 x2 y2)32D{(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}主要矛盾是相对复杂的表达式与有限的计算能力的矛盾。化成极坐标方程下求解。
高斯积分的求解
三重积分
两种求解思路：
先定(x,y)求z坐标区间（外层二重积分）。
先定x坐标，切出一系列平面（内层二重积分）。
对换与轮换
几种坐标变换：
柱坐标（每个面都极坐标）、球坐标（进一步吸纳极坐标只有一个长度量的特性）、一般变换（雅可比式）。
重积分的应用
二重积分：面积，曲顶柱体的体积。
三重积分：体积，两曲面之间的体积。
椭圆型的积分
椭圆型的积分，不采取从负到正的积分限（如果出现这种情况，一般可以直接使用椭圆面积公式，或者是想错了）
通常可以使用广义极坐标变换，这使得极径的上下限极其简明。
轮换
求解重积分时的轮换只能解决类似表达式不复求的问题（比如求柱体转动惯量的x,y分量时）。
与之相较，曲线曲面积分是由等式所决定的，在区域对函数来讲高度对称的时候，使用轮换方法可以化简求解式，从而大大降低复杂度。
例球面x2 y2 z2a2和平面x y z0的交曲线，若要求∫Lx2ds可以利用13a2ds来考虑