证明任意两个无理数之间有有理数
怎样证明无理数有理数？
怎样证明无理数有理数？
可以根据无理数的定义得到。无限不循环小数是无理数，除此是有理数
两个正无理数相加等于有理数，怎么填？
两个正有理数相加还等于正有理数，这是因为根据有理数相加的运算法则，两个同号的有理数相加和取原来加数的符号，并把绳对值相加这里因为两个有理数的符号都是正号，所以和的符号就应该取原来加数的符号正号，然您再把它们的绝对值相加就可以了。
证明2个无理数中间，有一个有理数？
设a,b是无理数，那么考虑c(a b)/2，如果c是有理数的话命题得证。否则，取n为大于log(|c-a|/2)的任意正整数，令d是c的十进制小数四舍五入到小数点后第n位的一个有限小数，容易知道d是有理数。这样的话，|d-c||c-a|/2，也就是说d这个有理数在a,b之间，命题得证。
综上所述，任意两个无理数中间必定有一个有理数。
两个无理数的积是有理数是真命题吗？
两个无理数的积不一定是有理数：有可能两个无理数的积是有理数、有可能两个无理数的积是无理数，所以：两个无理数的积是有理数是假命题。因为如果这两个无理数是相同无理数或有一定倍数关系，那么它们的积有可能是有理数，如两个无理数根号二和根号八的乘积是根号十六，根号十六是有理数4；如果两个无理数都是π，那它们的积还是无限不循环小数，还是无理数；这两个无理数是根号三和根号七，它们的积是根号二十一，根号二十一是无理数。所以说两个无理数的积不一定是有理数，这是一个假命题
两个有理数之间一定有无理数吗？
首先我们知道任何一个无理数和任何一个有理数 -×÷之后都还是无理数（×÷0除外）。这通过反证法易知。
对于任意两个有理数altb，b-a也是有理数，那任取一个无理数x，0ltxlt1。都可以构造一个ya (b-a)*x，显然y仍然是无理数。
由此我们知道任意两个不同的有理数中间必然存在无理数。进一步，因为x的选取是任意的，而根据集合论我们知道无理数无穷（即实数无穷：阿列夫-1）要大于有理数无穷（即自然数无穷：阿列夫-0），所以，我们知道：
任意两个不同有理数之间都存在无穷个无理数，这个“无穷”等势于实数无穷，也就是说比所有有理数都要多。
画个数轴就出来了吧
这个得从等于说起。
主流数学是一种标准分析，就跟欧式几何一样，存在非欧几何，现在数学的发展，还没到非标准分析内容的时候。
主流数学体系，两个数相等是怎么定义的，不是两个数的数值完全一致就是相等，得引入极限定义，两个数相减，可以任意小，无穷小，则这两个数相等，所以循环小数与某个分数相等，这是在极限定义下的相等，没有必要纠结中间到底有多少个点，如1╱70.142857的循环，两数相除时，余数在6个数中跳跃，两数相减，总差一点，无穷的结果就是极限，这两个数相等。
这个定义怎么说呢，有点流氓的概念，你说0.1，则多取一位，相减数值就小于0.1了，因为∞，可以取∞ 1来对付。（这在有限精确度下是行不通的，如两个人都是1.80米高，你非说我比你高0.01毫米，那是无意义的，在有限精确度下，两人就是身高相等。世界是有限的，没有无穷旅馆，标准分析的无穷玩法就是一种游戏规则。）如果定义无穷小是个数，则这个数学体系则要发生变化。
学习欧式几何，就得用欧式几何的逻辑，不要说三角形三个角不等于一百八十度。学习标准分析就得用标准分析的逻辑，不然陷入纠结的混乱局面。