常见的带拉格朗日余项的泰勒公式
泰勒公式佩亚诺型和拉格朗日型余项分别用于什？
泰勒公式佩亚诺型和拉格朗日型余项分别用于什？
拉格朗日余项和佩亚诺余项的差别是： 带拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体 带佩亚诺余项的泰勒公式描述局部 在是函数和各阶导数的关系时两者都可以使用，如果函数次数较低的话，用拉格朗日余项；函数次数较高的话用佩亚诺余项。无限制范围。 佩亚诺余项的意义在于x趋近于0时，满足拉格朗日余项是前者的高阶无穷小量。
如果函数的次数较低且x不是在0的小领域内讨论的话，则并不很适合用带佩亚诺余项的麦克劳林公式。
不同余项的泰勒公式之间的关系？
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式有好几种余项：皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分余项等。
余项就是展开式与原函数的误差，余项越少，误差就越小。在一定允许的范围内，余项可以忽略不计，即所谓的无穷小。
带拉格朗日余项的泰勒公式计算？
函数f(x)在开区间（a,b）有直到n 1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)f(x.) f(x.)(x-x.) f(x.)/2!(x-x.)^2, f(x.)/3!(x-x.)^3 …… f(n)(x.)/n!(x-x.)^n Rn其中Rnf(n 1)(ξ)/(n 1)!(x-x.)^(n 1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）证明：我们知道f(x)f(x.) f(x.)(x-x.) α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x. Δx)-f(x.)f(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
e^x的麦克劳林公式？
e^x1 x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! ……e^x-1x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! ……(e^x-1)/x1 x/2 x^2/3! …… x^(n-1)/n! ……成立区间为负无穷到正无穷 ，以上是麦克劳林级数，若是麦克劳林公式应为：e^x1 x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! 0(x^n)e^x-1x x^2/2! x^3/3! …… x^n/n! 0(x^n)(e^x-1)/x1 x/2 x^2/3! …… x^(n-1)/n! 0[x^(n-1)]余项是用的皮亚诺余项，也可改用拉格朗日余项