用有限覆盖定理证明致密性定理
确界存在定理为什么能说明实数是连续的？
确界存在定理为什么能说明实数是连续的？
很久之前看到过这个问题，实数（系）的连续性的确可以这么表达。先上主要结论：除了确界存在定理（1）是可以很直观的看出实数的连续性，（2）-（6）似乎与实数连续性很难扯上关系，但是（1）-（6）都反映了实数的完备性，经过证明可知连续性等价于完备性，因此（2）-（6）也反映了实数的连续性。
然后分别回答：
1. 确界存在定理，它的作用很大（其实基本定理的作用都非常大），比如说，利用确界存在定理可以证明有理数不具有连续性，是具有“空隙”的；比如说是极限理论的基础。那么，假设有“空隙”（设为a），那么在数轴上，“空隙”的左边存在上界，因为，有 ，根据确界存在定理，它必有上确界，但与原假设矛盾。同理，“空隙”的右边亦如此。因此，没有“空隙”。我们称“实数系连续性定理——确界存在定理”。
6. Cauchy收敛原理，也可以用来判断数列是否收敛，这个原理表明由实数构成的基本数列{xn}必存在实数极限——又称之为实数系的完备性（实数集合是一个完备空间，而有理数系不是一个完备空间，举例：{(1 1/n)^n}是一个有理数构成的数列，但它的极限是无理数）——实际上在实数系中，完备性与连续性这两个概念是等价的。
默默吐槽一句公式真的好难打，我能不打公式就不打公式了！
2. 单调有界定理，可以利用实数系连续性定理——确界存在定理 语言证明，它的作用包括了从数列本身来研究数列的敛散性，可是这跟实数的连续性/完备性有什么关系？我个人觉得是因为，这个定理是由实数系连续性定理推出的，因此反映了实数的连续性。此外，单调有界并存在极限这一定理在有理数集上是不成立的（见上例），而在实数集上是成立的，其原因也是在于实数的连续性。
3. 闭区间套定理，则是利用了实数系连续定理 单调有界定理证明的，它的作用包括了证明实数集是不可列集。与2同理。
4. 有限覆盖定理，又称Heine-Borel定理（下文简称H-B定理）。H-B定理就是说，若开区间集S覆盖闭区间[a,b]，则S中有有限个开区间覆盖闭区间[a,b]，它可由区间套定理证明。（嗯...暂时不知道要说啥好，感觉前面说的都挺多了）
5. 聚点定理，又称Bolzano-Weierstrass定理（下文简称B-W定理）。首先，我们要明确什么是聚点，设A是直线上的点集，a是一个定点，若a的任意领域内都含有A的无限多个点，则称a为点集A的一个聚点。聚点定理可表述为：直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。并且，我们还有B-W定理（致密性定理）——有界数列必有收敛子列。
我们可以由定理1推出2推出3推出4推出5推出6，因此我们说实数系的连续性（定理1）包含了完备性（定理6）；同理，我们可以证明定理6推出3推出1（全部倒推一遍也同样成立）。两个结论结合在一起，我们说实数系的连续性等价于实数系的完备性。那么，在这里用到的1、2、3、4、5、6自然反映了实数的连续性（定理1）。所以这里所说的反映实数的连续性，个人认为并不是每一个定理都像确界存在定理一样可以通过“想象”的，只不过是存在着这样一种等价命题罢了；同时它们也反映了实数系的完备性，是可以比较好理解的，因为在有理数系中这些定理不成立，而在实数系中这些定理成立了。
最后补充两个稍微偏题的小知识：
1. 除了定理（1）和（2），其余定理在R^n
依然成立，因此也称为在欧几里得空间上的基本定理，也同样等价。
2. 运用定理（1）证明实数的连续性还应该要用到级数知识，才能得到更为严格的证明，Dedekind切割定理也同样可以阐述并证明实数系的连续性，它是以有理数集合切割为基础推导出实属的连续性，并且可以通过该定理证明定理（1）。在陈纪修老师的《数学分析》一书中有详细的关于该定理的定义、定理，与（1）类似，比较直观地阐述了实数系的连续性。
不足之处，请指正v
实数系连续性的基本定理？
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。
一、上（下）确界原理
非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）
有界数列必有收敛子列。
七、完备性（柯西收敛准则）
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。