怎么证明三角形的高交于一点
三角形三条高为什么交于一点？
三角形三条高为什么交于一点？
三角形每条高的线,代表从顶点到边的一个重力线,如果从不同的地方取重力线,任意取三条都会交与一点的,而这一点就是中心,是所有重力线交汇的地方
例题:
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB∠AEB90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE∠ABE
∵∠EAO∠DAC ∠AEO∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AOAD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF∠ADE∠ABE
又∵∠ABE ∠BAC90度
∴∠ACF ∠BAC90度
∴CF⊥AB
因此三角形三条高交于一点
三角形五心的所有性质和证明方法？
一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心，三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。
二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
AO交DE于G
∠ADE∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI∠ADE
∠AIH∠AED
∠A∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？
证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心
做BG中点H，GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HIBC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FEBC
∴FE//HI,且 FEHI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HGGE
又H为BG的中点
∴HGBH
∴HGBHGE
∴2GEBG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HAa，HBb，HCc。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以HA·BC0，HB·CA0，
即a·(c-b)0，
b·(a-c)0，
亦即
a·c-a·b0
b·a-b·c0
两式相加得
c·(a-b)0
即HC·BA0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。
内心:
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O；
求证：
△ABC角平分线交于点O。
证明：∵点O在∠A的角平分线上，
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。
根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，
又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。
∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。
求证:OIOGOH
∠1∠2,∠3∠4,∠5∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AOAO(公共边)
∠1∠2(角平分线)
∠AIO∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OIOH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AOAO(公共边)
∠1∠2(角平分线)
∠COH∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OGOH(两个三角形全等,三边对应等)
外心:
证明:ADBDCD
在△AFO与△BFO中:
AFBF
FOFO
∠AFO∠BFO(垂直平分线)
∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AOBO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中:
AEEC
EOEO
∠AEO∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS)
∴AOCO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AOBO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵AOCO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AOBOCO
即O为△ABC的外接圆的圆心
证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.
先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.
现在,FO与EO已相交于O点
∵HI//BC(已知)
∵GD⊥BC且D为BC中点
∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点
旁心:
证明:EOFODO
在△ADO与△AFO中:
∠AFO∠ADO
∠DAO∠FAO(角平分线)
AOAO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等
∴DOFO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO∠ACEO
∠ECO∠FCO(角平分线)
COCO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EOFO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EOFO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EODO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EOFODO