计算曲面积分啥时候不用高斯公式
为什么说高斯公式是斯托克斯公式的特例？
为什么说高斯公式是斯托克斯公式的特例？
其实，高斯公式和斯托克斯公式都是格林公式的推广。只不过高斯公式是在三维空间上的推广，而斯托克斯公式是作为第二类曲线积分推广到第二类曲面积分。
先解释斯托克斯公式和格林公式之间的关系，然后再说明高斯公式和格林公式之间的关系。
斯托克斯公式是在三维空间的，那么想要变成二维空间的格林公式怎么做呢？很简单，因为在二维空间xOy平面上，z0，所以斯托克斯公式左边的第一项和第二项都等于0，只剩下最后一项，就是所谓的格林公式。
下面是格林公式和高斯公式之间的关系。
格林公式反映的是平面区域D上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。（边界曲线规定了正方向的，即当观察者沿边界曲线的这个方向行进时，平面区域D内在他近旁的部分总位于他的左侧，这个就是边界曲线的正方向）
而高斯公式则是作为格林公式在三维空间的推广，反映的是空间区域F上的三重积分与其边界曲线上的曲面积分之间的关系。
注意：对于格林公式，是平面区域和边界曲面的关系，而对于高斯公式，是空间区域和边界曲面之间的关系，也就是二者在三维的时候，相比于二维上升了一个维度。
公式1和公式2都是高斯公式。其中需要注意的也特别标明或者写出了，经常计算出错的原因就是在于方向的判断错误或者不封闭的区域也带进去算。
而且从中也可以看出，如果是第一类曲面积分，如何化为第二类曲面积分，然后运用高斯公式的。
不闭合的曲线可以用高斯定理吗？
增加曲面构成闭合立体，用高斯定理后再减去该曲面的积分
曲面积分有没有极坐标表示形式？
我们知道二重积分三重积分第一类曲线积分都有笛卡尔坐标表示和极坐标表示，而第一类曲面积分大学微积分书上只有笛卡尔坐标表示，那么有没有极坐标表示形式。如果有，为什么大学微积分书上没有？
是有的。
因为对于曲面积分的计算，我们都是先根据不同的情况化为二重或者三重积分来计算的。第一类曲面积分的一般算法是化为二重积分计算，第二类曲面积分一般算法也是化为二重积分计算，但是形式不同。
此外，第二类曲面积分如果是封闭并且满足相关条件，能够通过高斯公式化成三重积分计算。
而既然是二重或者三重积分的计算，那么我们当然能够使用极坐标系去计算了，之所以没有讲，我觉得是因为这件事情应该是非常明显的，并不需要特别去说一句。
说到底，对于曲面和曲线的积分，我们都是化成一次积分或者累次积分的形式，也就是重积分去计算的。所以重积分能够用的，曲面积分也能够用。
不过需要特别提醒的是，有一些技巧在重积分里面能用，但在曲面积分和曲线积分里面可能就有所限制了。比如说，我们有时候会用对称性去简化运算，但是对于重积分和第一类曲线积分和第一类曲面积分是能够用这个的，但是对于第二类曲线积分和第二类曲面积分就不能使用了。这是因为第二类的实际上是矢量运算，所以并不是说区域对称就能够对积分使用对称性的。