极限计算三十种思路
如何区分极限计算中的定式和未定式？
如何区分极限计算中的定式和未定式？
据说有 11 种。除了 还有 。
但是仔细考虑的话，第三种可以归入前两种。 确实是未定式，只需计算 即可。然后第九种就可以归入六、七。第十种本质上也便是六、七和一般性的情形。
至于第八种，已经在考虑复数范围了。如果还要引入复平面的话， 显然也是未定式了。所以一般认为未定式有 七种。
无穷比无穷的极限怎么算？
sint,t-gt无穷
是没有极限的
lim t-gt无穷 sin(t) 不存在
假设极限存在，取子序列{yn},ynn*pi-gt无穷
子序列{zn}, zn 2*n*pi pi/2-gt无穷
如果极限存在，则两个收敛子序列的极限应该和原极限相同(borel-heine定理)
但是你看sin(yn)0,sin(zn)1，所以极限为0和1
但0不等于1，矛盾，极限不存在
极限怎么求无穷减无穷？
对于这种未定式，一般有两种解题思路：
1、有分母的，先通分再计算；
2、没有分母的，创造分母再通分计算，一般创造分母的方法是倒代换。 倒代换是通过变量代换x1/t，使原来以x，为自变量的数学问题变成以t为自变量的数学问题，达到降低问题难度或化简解题过程的一种数学解题方法。 对于形如 的极限问题，很难使用等价无穷小替代和展开泰勒公式，而等价无穷小替代和展开泰勒公式是求极限问题最有效的基本方法。 在变量代换 下 ，可能给使用等价无穷小替代、展开泰勒公式，或使用洛必达法则带来一定的方便。
目前计算无穷级数的方法有哪些？
就高等数学而言，无穷级数的计算是指先判定级数是否收敛，然后如果是收敛的话，求极限。
首先，无穷级数分为常数项级数和函数项级数。常数项级数里面又分为正项级数，交错级数和任意项级数。函数项级数包括幂级数和傅里叶级数。
正项级数敛散性判别法主要有6种。分别是：部分和序列有界，比较判别法，达朗贝尔判别法，柯西判别法，柯西积分判别法和极限审敛法。交错级数的判别法主要是莱布尼茨定理。任意项级数敛散性判定问题能够转化为正项级数敛散性判定问题。
如果只是想知道有几种方法的话，到这里就差不多了。下面是对这些方法的详细解析和具体使用方面的一些问题。
先对无穷级数的一些定义和性质做一个了解。（不要嫌我啰嗦，很多时候出问题就出在这些东西上面）
（字不是很好看，见谅啦）
所以，无穷级数的本质就是对数列求和。高中所讲的等差数列和等比数列其实就是无穷级数里面的一种。
那么既然是数列求和，就会很自然地给出，这个和是否是确定的一个数，如果是，那么就是收敛的，如果不是，那么就是发散的。
注：收敛也会分为绝对收敛和条件收敛，但都称之为收敛。这两个东西后面会讲到。
这里给出无穷级数的5大性质和3条推论。
性质1表明，两个收敛级数的和或差仍是收敛级数，并且其值可根据这个性质去计算。性质3表明，有限项的改变不会使得整个求和的结果的性质发生改变。就是说，一个级数原先是收敛的，那么有限项改变了，新的级数依然是收敛的。同样，一个级数原先是发散的，那么有限项改变了，新级数依然是发散的。
另外，在做题的时候，有时候这个级数并不是从n1开始的，那么如果这个级数是收敛的，你如果直接算，算不出来，可以考虑从n1开始算，然后最后的结果再减去你增加的那几项。当然，反过来也是一样。就是说，如果从n1开始算，算不出来，那么我们可以从n2开始算。（当然从哪开始算要根据情况而定，反正怎么好算怎么来就可以了）
（推论2最后少了两个字，发散。）
大家也看到了，性质5非常重要。这个性质是判断无穷级数到底是否收敛的关键。一般拿到一道题，要你判断判断是否收敛，首先就先验证一下这个级数的一般项在n趋向于无穷的时候，是否趋向于0。这里也有个需要注意的地方，很多人用着用着，就习惯直接算一般项，而没有用n趋向于无穷这个东西。
单独拿出来说一下。性质5明确规定了，一般项在n趋向于无穷的时候等于0是收敛的必要条件。而，一般项和一般项的n趋向于无穷的时候，这两个东西的值是不一定相等的。一般项的n趋向于无穷的时候，可以用等价无穷小之类的性质去算，结果可能和一般项会有比较大差别。所以用的时候一定要把n趋向于无穷写进去，千万不要想当然。
——部分和序列有界法
这个方法其实就是弄出无穷级数的求和公式，然后看看当n趋向于无穷时候会发生什么，如果是定值，就是收敛，如果不是，就是发散。这个方法用的很少，就不多讲了，想做一下的可以去练练。
——正项级数判别方法
啰哩啰嗦，终于讲到这个部分了。
先发个表情。～(￣▽￣～)~
然后的话，就是比较审敛法去判断一个正项级数的敛散性。这个方法的本质上是，利用一个我们已知敛散性的正项级数，去判断另外一个正项级数的敛散性。
这么一看，这两个正项级数必然存在一定的联系，才能通过已知的去判断未知敛散性的正项级数。下面给出定理
这个定理其实很好理解，比收敛的无穷级数的每一项都要小的，那当然是收敛的，比发散的无穷级数每一项都要大的，那当然是发散的。有人会说，你这不是废话吗。那我们看一道例题就知道这个东西其实有时候挺好用的。
下面再证plt1和pgt1的情况。
p级数是我们经常使用的一种无穷级数，要作为结论记住。即，p小于或者等于1的时候，级数发散，p大于1的时候，级数收敛。
——极限形式的比较审敛法
定理给出
综上所述，比较审敛法的本质是将一个敛散性已知的级数与题目所给的级数进行比较。这种方法的使用，有很大的局限性。（要有已知敛散性的级数，而且有些方法技巧性很强）
这里介绍一个小技巧。就是比较判别法常用p级数作为比较的级数，当题目所给的级数的一般项较为复杂的时候，可以将p选取为分子与分母的最高幂次之差。
下面介绍的比值审敛法和根值审敛法是利用级数本身的特性确定的。
——比值审敛法（达朗贝尔审敛法）
——根值审敛法（柯西审敛法）
——交错级数判断审敛的方法（莱布尼茨审敛法）
首先，交错级数的定义是，一个级数的各项是正负交错的，就叫做交错级数。
给出定理