三角形外心与平面向量的结论
向量外心公式如何推导？
向量外心公式如何推导？
证明：设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有ra/（2sinA）b/（2sinB）c/（2sinC）rabc/（4S△ABC）
三角形外心的向量关系向量PA的模向量PB的模向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）
外心向量？
三角形外心向量公式是PA PB PC0。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学，建筑学有应用。
向量垂心公式推导？
由OAOBOBOC，得OAOB-OBOCOB（OA-OC）OBCA0，即OB⊥CA，同理OC⊥AB，OA⊥BC，故O为△ABC的垂心。
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形外心与重心的距离公式？
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长,G重心为,O为外心。由三角形的恒等式∵AG^2(2b^2 2c^2-a^2)/9,BG^2(2c^2 2a^2-b^2)/9,CG^2(2a^2 2b^2-c^2)/9,∴AG^2 BG^2 CG^2(a^2 b^2 c^2)/32(s^2-4Rr-r^2)/3,AO^2 BO^2 CO^23R^2。
由三角形重心性质:3GO^2AO^2 BO^2 CO^2-AG^2-BG^2-CG^29GO^29R^2-(a^2 b^2 c^2)。注意:O,G,H在一直线上。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1 X2 X3)/3,（Y1 Y2 Y3)/3.
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1d2d3,c2d1d3,c3d1d2；cc1 c2 c3.重心坐标：( (c2 c3)/2c,(c1 c3)/2c,(c1 c2)/2c ).
5、外心到三顶点的距离相等
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI(a×向量PA b×向量PB c×向量PC)/(a b c)