空间曲面在坐标平面上的投影
如何计算曲面的面积？
如何计算曲面的面积？
设空间有界曲面
为
其中
是
在
面上的投影区域，
在
上具有连续的偏导数，下面讨论曲面
的面积的计算问题。
现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域
，如图1所示，任取其中的一块记作
，其面积也记作
，则当
的直径很小时，
表示以
的边界为准线，母线平行于z轴的柱面截得的曲面
上的那部分，设
是
上的任一点，根据条件，曲面
在点P处有切平面，则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替
的面积
，则
其中，
是切平面与
面的夹角，也就是切平面的法向量n与
面的法线
轴的夹角，由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
则曲面的面积微元为
将dS在投影区域
上积分，便得计算曲面面积的二重积分公式
如果所求曲面的方程用
或
表示比较方便，则同理可将曲面分别投影到
面或
面，类似地可得相应曲面的面积计算公式，分别为
或
其中，
分别为曲面
在yOz面或zOx面上的投影区域。[1]
同面投影是什么意思？
工程制图中的同面投影的意思是：各物体投影所在的面是假想面。通常是平面，但在地球投影等方面也应用圆柱面、圆锥面和球面等曲面作为投影面。
在工程制图中，为利用正投影法在平面上表达空间形体，一般采用三个相互垂直的平面作为基本投影面。处于水平位置的称“水平投影面”，与水平位置垂直而处于正面位置的称“正立投影面”，与上述两投影面都垂直而处于侧面的称“侧立投影面”。
什么在v面和w面的投影？
正立面投影（V 面）：平行于 V 面，垂直于 H、W 面的平面。能表示形体正面形状和高度、长度两个方向的尺度；
水平面投影（H 面）：平行于 H 面，垂直于 V、W 面的平面。能表示形体顶面形状和长度、宽度两个方向的尺度；
侧平面投影（W 面）：平行于 W 面，垂直于 H、V 面的平面。能表示形体侧面形状和高度、宽度两个方向的尺寸。
正平线是一种投影面平行线，平行于 V 面而与 H、W 面倾斜的直线称为正平线；
水平线是一种投影面平行线，平行于 H 面而与 V、W 面倾斜的直线称为水平线；
侧平线是一种投影面平行线，平行于 W 面而与 V、H 面倾斜的直线称为侧平线。