利用二重积分对称性求定积分例题
不定积分怎么判断奇偶性？
不定积分怎么判断奇偶性？
一般有以下几个步骤
1.
利用对称性求解定积分的条件:积分区间是对称区间
2.
观察被积函数的奇偶性，比如对于M∫[-a,a]
f(x)dx
----表示在-a到a上关于f(x)求定积分
当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)-f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是奇函数时，M0
当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是偶函数时，M2∫[0,a]
f(x)dx
上面的方法可以严格地从定积分的定义式(即黎曼和的极限)严格证明，也可以从几何意义加以理解，因为∫[-a,a]
f(x)dx表示在区间[-a,a]上由f(x)围成的曲边梯形的“面积”，其中面积之所以加引号，是因为如果f(x)0，那就指的是由yf(x),y0,x-a,xa围成的面积，如果是f(x)0，那指的是yf(x),y0,x-a,xa围成的面积的相反数，所以M的值也就指的是在x轴以上的面积减去x轴以下的面积。
于是如果f(x)是奇函数(图像关于原点对称)，在x轴上面的面积等于x轴以下的面积，所以积分为0
如果f(x)是偶函数(图像关于y轴对称)，在y轴两侧的面积相等，所以等于一半区间[0,a]上积分的两倍。
二重积分的结果里面会有xy吗？
利用二重积分的对称性，可以知道xy的二重积分为0，所以消掉
二重积分区域对称中心可以不是坐标轴？
首先二重积分对称性的前提是其积分区域关于某条直线对称(常见的有x轴、y轴和yx),被积函数关于某平面对称。 被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性. 二重积分的对称性: 1、积分区域 D 关于 x 轴对称,D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分,(x, y),即被积分函数就是关于 x 重积分积分区域的对称性。
sinx平方加cosy平方的二重积分？
有一个比较巧妙的解法，运用对称性
将这个二重积分写出来，sinx^2 cosy^2，假设其结果为I
运用对称性，将里面所有的x换成y，所有的y换成x，即siny^2,cosx^2，其积分结果依然是I
将这两个二重积分相加，被积函数变成2，积分区域是0≤x≤1,0≤y≤1，积分结果为2