如何判断序列是否有极限
为什么有的有界函数有极限？
为什么有的有界函数有极限？
不是！有界函数不一定有极限！例如函数:当x为有理数时取0，当x为无理数时取1，为有界函数。但它在实数轴上的任意一点都没有极限（有理数序列趋近于该点时取极限0，无理数序列趋近于该点时取极限1）。
单调有界函数都有极限
反例如下
ysinx 是有界函数
x→∞时，
limsinx不存在。
商的极限与极限的商？
相当于求极限顺序问题
说法也有误，应该是两个变量或者序列的极限，数是一个常量，没有极限一说
商的极限不一定可以写成极限的商，因为商的极限可以存在有意义的情况下，极限的商可能没有意义
该极限存在，分子分母极限存在，且分母极限不为0，就可以
不单调的数列存在极限嘛？
不单调的数列可以存在极限
以无穷等比数列ana1×q^（n-1）为例，当公比q∈（-1,0）∪（0,1）时，数列存在极限为0，而公比q∈（-1,0）时，数列正负相间，没有单调性，但仍然存在极限
数列极限又可以表示为收敛于某个常数，不管它是不是单调数列，只要无限趋近于某个常数，就存在极限
前一极限式和后一极限式是什么？
前一极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。 给定无穷数列（xn），它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。 后一极限式或定义为 因为 是递减的，所以讨论其极限值是有意义的。
依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。
单调数列如何粗略判断发散？
判断函数和数列是否收敛或者发散：
1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得nN时，恒有|Xn-a|q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。
2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 来代替
4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。
扩展资料：
在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。发散级数（英语：Divergent Series）指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数
和
，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。
如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数
调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。
收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。
发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。
发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。
收敛数列
令{
}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b0,存在一个正整数N，使得对于任意nN,有|
-A|b恒成立，就称数列{
}收敛于A（极限为A），即数列{
}为收敛数列。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b0,存在c0,对任意x1,x2满足0|x1-x0|c,0|x2-x0|c,有|f(x1)-f(x2)|b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，(x）， （x） ，（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式（x） （x） （x） ...... un（x） ......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数（x0） （x0） （x0） ...... un（x0） .... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。
函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。
这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）（x） （x） （x） ...... un（x） ......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)S(x)
记rn(x)S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)0