泰勒公式大全详解
泰勒公式通式？
泰勒公式通式？
由来：
f(x)在点x0处有n阶导数，我们尝试用n次多项式Pn(x)近似代替f(x)
Pn(x0)f(x0)
Pn#39(x0)f#39(x0)
Pn#34(x0)f#34(x0)
......
Pn(n)(x0)f(n)(x0) 这里表示n阶导数
于是就可以得出
Pnf(x0) f#39(x0)(x-x0) 1/2!f#34(x0)(x-x0)2 ... 1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n
也就是说
在x0点出， Pn的i阶导数值等于f(x)的i阶导数值..i≤n
则称Pn(x)为f(x)的泰勒多项式，在x0点处近似表示f(x)
定理：
f(x)在点x0处有n阶导数,则在x0处附近f(x)可以表示为
f(x)f(x0) f#39(x0)(x-x0) 1/2!f#34(x0)(x-x0)2 ... 1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n Rn(x)
其中Rn(x)o((x-x0)^n),也就是(x-x0)^n的高阶无穷小，
我们称上式为f(x)在x0处得泰勒展开公式
理解：
泰勒公式就是取一个基点，然后再一定范围里面近似表示f(x)的一种方法
比如上式就是在基点x0处，范围为△xx-x0里面近似表示f(x)
故上式代入△xx-x0得到
f(x)f(x0) f#39(x0)△x 1/2!f#34(x0)△x2 ... 1/n!f(n)(x0)△x^n o(△x^n)
特别地，当x00时，我们称上式为迈克劳林公式..
f(x)f(0) f#39(0)x 1/2!f#34(0)x2 ... 1/n!f(n)(0)x^n o(x^n)
多元函数的泰勒公式？
多元函数泰勒公式是f(x,y)f(a,b) df(a,b)/dx[x-a] df(a,b)/dy[y-b] d^2f(a,b)/dx^2[x-a]^2/2 d^2f(a,b)/dy^2[y-b]^2/2 d^2f(a,b)/[dxdy][x-a][y-b] h。
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为yf(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。
当n1时，为一元函数，记为yf(x),x∈D，当n2时，为二元函数，记为zf(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数