辅助角公式应用条件
为什么要设辅助角公式的范围？
为什么要设辅助角公式的范围？
所谓「辅助角公式」就是中学数学里面一个平淡无奇的公式：
Acost BsintA2 B2√cos(tarctanBA)(A0)
或
Asint BcostA2 B2√sin(t arctanBA)(A0)
对于这个公式，我们的解释一般是「提出 A2 B2√, 凑出两角和公式」。
然而这对与几何迷来说并不能满意对吧？
现在我们就来谈谈几何意义。
如果用复数来解释倒是很容易，不过那就开挂了。
所以我打算在实数范围内就把问题说清楚。
刚才的公式里面，我为什么不把变量写成 x, 而是写成 t 呢？
这是因为，从运动的角度来看，可以更好地理解三角函数。
比如说，还有一套三角函数的基本公式叫做诱导公式。
其中有这么一条：
sin(x π2)cosx
刚学这个公式的时候我就想，正弦一平移就变成了余弦。
这就说明正弦和余弦的函数图像都是一样的。
也就是说，正弦和余弦本质上并没有什么区别。
当时觉得这相当匪夷所思。
后来就明白了。
如果从运动的角度来考虑，假设有一个点以 1 rad/s 沿单位圆（x2 y21）做圆周运动，坐标为 (cost,sint).
那么，正弦就是这个运动在 y 轴上的投影，余弦就是在 x 轴上的投影。
x 轴和 y 轴只不过是过原点的有向直线中的两条罢了。
过原点还有无数条有向直线。
因为圆是完美对称的，所以这些直线其实没有高低贵贱之分。
如果把这个点投影到每条直线上，
那么每一个投影，都是圆周运动的投影，都是简谐运动。
这些运动也没有高低贵贱之分。
只不过初相位不同罢了。
x 轴和 y 轴当然也不例外。
然后我们再回来看辅助角公式。
Acost BsintA2 B2√cos(tarctanBA)(A0)
右边是一个简谐运动，那么左边也是。
这说明左边也是一个圆周运动的投影。
投影。
想到了什么？
点积。
Acost Bsint
(A,B)(cost,sint)
A2 B2√proj((cost,sint)→(A,B))
看看这个式子，再看看下面这张图，是不是有种恍然大悟的感觉？
arctanBA 正是 (A,B) 与 x 轴之间的夹角。
所以这个简谐运动比 x 轴上的投影慢了 arctanBA 个相位。
因此它的表达式就是 cos(tarctanBA).
这是表示成余弦。
要表示成正弦也可以。
我们再作一个 (B,A) 向量。
此时 Asint Bcost(B,A)(cost,sint).
由于 (B,A) 跟 (A,B) 是关于直线 yx 对称的，
所以 (B,A) 和 y 轴之间的夹角同 (A,B) 和 x 轴之间的夹角是相等的，
也就是 arctanBA.
但是夹角的方向是相反的。
所以这个简谐运动比 y 轴上的投影快了 arctanBA 这么多。
因此它的表达是就是 sin(t arctanBA).
最后补充一下，公式中 A0 的条件是为了保证 arctan 函数能够返回正确的角度。
辅助角公式怎么换余弦？
yasinx bcosx
bcosx asinx
√(b2 a2)*cos(x-)
其中 cosb/√(a2 b2), sina/√(a2 b2),