柱面方程的一般表达式和图像
马鞍面二次曲面表达式怎么产生的？
马鞍面二次曲面表达式怎么产生的？
最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面。此外，二次曲面还包括椭球面、双曲面（又分为单叶双曲面和双叶双曲面）和抛物面（又分为椭圆抛物面和双曲抛物面，后者又称马鞍面）。当表示二次曲面的一个方程，能分解为两个一次方程的乘积时，这个二次曲面就退化成两个或相交或平行或重合的平面。
在二次曲面里，椭圆面、双曲面、锥面、椭圆抛物面以及椭圆柱面都具有圆形截线。如果某一个平面截二次曲面于一个圆周，则所有平行于它的平面也截该曲面于一个圆周。所以一般来说，二次曲面由两族平行平面可以截出圆截线。与其平行的切平面的切点是二次曲面的脐点（或圆点）。
yx^2是柱面吗？
yx^2为柱面图
因为yx方在（负无穷，正无穷）上是无限递增的，所以我画出了y1和
yx^2
围成的闭区域
1.柱面方程表达式：对空间坐标系中F(x,y)0；G(y,z)0；H(x,z)0，这些都是柱面方程。如：x2 y21，就是圆柱面方程表达式。
2、抛物柱面表达式：yx2。双曲柱面表达式：x2/a2-y2/b21。椭圆柱面表达式：x2/a2 y2/b21。
3、直圆柱面：如果直母线垂直于圆所在平面时，所得柱面称为直圆柱面（或正圆柱面）。直圆柱面也可以看成是动直线平行于定直线且与定直线保持定距离平行移动产生的，定直线是它的轴，定距离是它的半径。二次柱面分别以平面上的椭圆、双曲线和抛物线为准线的柱面，称为椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面。它们的方程都是二次的，统称为二次柱面。在空间直角坐标系中，只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。
圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）
圆的周长公式我们知道在二维几何平面上，对于 以原点为圆心，R为半径的 圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：
x2 y2 R2
在 极坐标下，曲线方程为：
ρ R， θ ∈ (-π, π]
两者结合，就得到 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π, π]）：
x R cosθ
y R sinθ
利用，关于弧长的曲线积分公式：
令， f(x, y) 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式。
这里，我们 将C 看成 从 a (-R, 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线，
于是，计算 C 的 弧长为：
这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：
C 2πR
考虑，C 位于 X 之上的部分 C，
令，t x，则 C 的参数方程为（t ∈ [-R, R]）：
x t
y √(R2-t2)
同样，利用上面的弧长公式，计算 C 的弧长为：
而 C 的周长显然是 C 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：
C 2C 2πR
圆的面积公式设，圆 C 的内部圆盘 为：
S {(x, y) | x2 y2 ≤ R2 }
在 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 小扇形 ，
每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：
ΔS (1/2)R(RΔθ) (R2/2) Δθ
这些 ΔS 全部加起来，然后让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼积分，
这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：
S πR2
上面的结果，告诉我们，其实，在 关于弧长的曲线积分公式 中，令 F(x, y) (R2/2)，对 圆周 C 进行 弧长积分，就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数，不妨让 f(θ) (R2/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积分：
同样在 平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的 小圆环，
将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：
f(ρ) 2πρ
这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：
ΔS f(ξ)Δρ
其中，Δρ ρ - ρ，ξ ∈ [ρ, ρ]，又令 λ max{Δρ, i 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：
这个结果就是 全部小圆环 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：
S πR2
上面的结果说明一个事实：
以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) πρ2 是 周长函数 f(ρ) 2πρ 的原函数，并且 有条件 F(0) 0，使得不定积分常数 C 0，即，
绘制成图如下：
反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) 2πρ 是 面积函数 F(ρ) πρ2 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，
从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，
C 的这部分的函数为：
y f(x) √(R2 - x2)
于是直接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S 的面积 如下：
注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根据 对称性，S 的面积 是 S 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：
S 4S 4(πR2/4) πR2
还可以利用，格林公式：
这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设，
Q(x, y) x, P(x, y) 1
于是，格林公式左边为：
这就是 S 的面积。接着 利用，两类曲线积分的关系：
结合 上面 C 的 第一个参数方程，格林公式右边为：
格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公式：
S _D (Q/x - P/y) dxdy ∮_C (Pdx Qdy) πR2
其实，也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分，
另外，在平面极坐标下，考虑 二重黎曼积分 更一般的形式：
可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“，
每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：
Δσ 1/2 ρ2 Δθ - 1/2 (ρ - Δρ)2 Δθ [(ρ ρ) / 2] Δρ Δθ ρ Δρ Δθ
其中，Δθ θ - θ, Δρ ρ - ρ，令，λ max{Δσ, i 1, 2, ..., n m2}，并取小扇面 的中心点 (ρ, θ) 处 的 二元函数值 f(ρcosθ, ρsinθ)，于是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式：
注意：以上的推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。利用，上面的 二重积分计算公式，有：
这样，我们就叕得到了圆的面积公式。
球的表面积公式在三维空间中，以 圆点为 球心，以 R 为半径的 球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：
x2 y2 z2 R2
于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B 对应的二元函数为：
z f(x, y) √(R2 - x2 - y2)
对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x, y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B 上的面积，近似于 投影 到 B 在 (x, y, f(x, y)) 处 切面 上的面积 Δm , 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：
Δm Δσ / cos r
为什么呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：
Δσ ∑ a × b
让 a 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行，于是 b 边 就与 交线 垂直，
这样 a 边 在 切面上的投影仍然是 a ，b 边在切面上的投影 则是 b / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积 为 (a × b) /cos r，进而有：
Δm ∑ (a × b) / cos r Δσ / cos r
另外，根据立体几何知识，我们知道：
B 在 (x, y, f(x, y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B 在 (x, y, f(x, y)) 点 切面法线 和 Z 轴 的夹角，
又因为，B 在 (x, y, f(x, y)) 点的 切面法线向量 为：
n (-f/x, -f/y, 1)
Z 轴 单位向量 为：
k (0, 0, 1)
所以，根据内积的定义，有：
cos r n k / |n||k| 1/√((f/x)2 (f/y)2 1)
注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数 z f(x, y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B。对于曲面 B 来说，有：
f/x -x/√(R - x2 - y2) , f/y -y/√(R - x2 - y2)
带入上面得到：
cos r 1/(√ x2 / (R2 - x2 - y2) y2 / (R2 - x2 - y2) 1) √(R2 - x2 - y2) / R
于是，曲面B 面积 的 二重黎曼积分为：
再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有：
最后，根据对称性 B 的表面积 是 B 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：
B 2B 4πR2
考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片，
和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔB 同样是 顶面半径 为 √(R2 - x2) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R2 - x2) Δx 的 1/cos r 倍数，
这里的 r 是，曲线 y f(x) √(R2 - x2) 上 (x, f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n (-f, 1) 和 Y轴 单位向量 j (0, 1) 的夹角。
同样，根据内积公式有：
cos r n k / |n||k| 1/√(f2 1) 1 / √((-x/√(R2 - x2)) 2 1) 1 / √(x2/(R2 - x2) 1) √(R2 - x2) / R
于是，
ΔB 2π√(R2 - x2) Δx / cos r 2πR Δx
进而，令 λ max{Δx, i 1, ..., n} 使用黎曼积分，就得到 B 的表面积：
球的体积公式设，球面 B 内部球体 为：
V {(x, y, z) | x2 y2 z2 ≤ R2 }
与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δx x - x 的薄片的体积 近似等于 半径为 √(R2 - ξ2) （ξ ∈ [x, x]） 的 同样厚度的圆柱体的体积：
ΔV π(√(R2 - ξ2))2 Δx π(R2 - ξ2) Δx
接着，令 λ max{Δx, i 1, ..., n} ，使用 黎曼积分，就得到 V 的体积：
当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。
利用，球面坐标下的三重积分计算公式：
对于，P 点的 球面坐标 定义为：
ρ ∈ [0, R]为 |OP|，φ ∈[0, π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角，
则，有，
这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。对于 球体 V 的体积，来说：
f(x, y, z) F(ρ, φ, θ) 1, ρ(φ, θ) R
于是，有：
最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。
例如，f(x) 在 [a, b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在 [a, b] 上的积分 可以定义为：
（当然，用微积分推导 圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）
（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正。）